纯数学方向

• 可逆Mackey函子

• 环曲面上的线丛

• 现代数论

• 算术动力学

• 椭圆曲线和复环面

• 舒伯特演算

• 组合数学-图论

 

1. 可逆Mackey函子

作为等变稳定同伦理论的类比，Mackey函子扮演着与阿贝尔群在非等变世界中一样的核心角色。等变在这里指的是具有固定群作用的对象G。

 

我们想为 Mackey 函子定义类似的局部化和自由模的概念，并证明一个类似的定理。我们可以更进一步，研究那些可逆 Mackey 函子是否一定是 Green 或 Tambara 函子，并尝试给出它们结构的特征。

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2.环曲面上的线丛

代数曲面是由复系数代数方程组定义的曲面，它既是具有丰富内涵的数学研究对象，又是研究更高维度代数簇的基础。

 

我们将研究环曲面上的线丛的基本问题，例如什么样的线丛具有整体截面，并且这些截面是否能区分曲面上的不同点。

 

我们会把具有一般性但抽象的数学概念转换为较为具体的组合性质，再去研究相对应的问题。希望对关于线丛的一些重要问题在环曲面的情形做出回答。

 

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3. 现代数论

现代数论最重要的课题之一是研究有理数的伽罗华群与对称性以及几何之间的关系。

 

我们的课题会从一个简单但重要的方向入手。课程包括一些基本的代数知识，学生需要有较好的数学功底。如果掌握基本的线性代数以及/或者组合数学，会很有帮助。

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4. 算术动力学

在过去的十五年中，算术动力学已逐渐成为了一个崭新而丰富的研究领域，其汇集了与由数字字段上定义的代数应用程序引发的动态系统有关的各种问题。

 

我们将探讨该领域的三个重要的主题：1）极化内同态的规范高度；2）动态Mordell-Lang猜想和p-adic方法；3）有理分数的模空间中不可能的交集。

 

该领域非常多样化，涵盖了复杂的几何和分析、非阿基米德分析、全纯动力学和算术几何。该课题适合对数学感兴趣的学生。

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5. 椭圆曲线和复环面

这是代数几何、复几何和算术几何中非常重要的概念和思想。我们将会涉猎这些方向中的一些有趣的结论和细节。如果最后有时间和能力，我们会研究一些椭圆曲线模空间中的轨迹，或者复环面上实部分的几何结构。

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6. 舒伯特演算

这是计数几何中的基本工具，我们将介绍格拉斯曼流形里面的子代数簇的结构并计算它们的相交信息。

 

如果时间允许，我们会讲解如果用这一工具解决具体的几何问题，例如一个经典的结论, 任何光滑射影三次曲线上都恰好有27条直线。

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7.组合数学-图论

起源于物理学研究，dollar game是一种可以表述成游戏的模型：考虑一张有限图，给每一个顶点赋予一个整数，代表“资产”，负整数代表该顶点“负债”。

 

玩家在每回合可任意选择一个顶点，令该顶点给予其所有相邻顶点各一个单位的资产，游戏的目标是最终让所有顶点均不负债。

 

本课题将引导学生运用群论，代数组合学等数学工具，发现并刻画这个模型中的复杂结构。

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